Question

已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为,设动点形成的轨迹为曲线..

（1）求曲线的方程;

（2）过点的直线与曲线交于两点,过点作,垂足为，过点作,垂足为,求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）设出点，根据圆锥曲线的统一定义可得出曲线的方程；

（2）要求的取值范围，通过统一定义可转化求的取值范围，根据图形又可以转化为求的取值范围，运用韦达定理进行减元，构造函数求出结果。

解:（1）设,

由题意,得，

整理化简得，

故曲线的方程为，

（2）当直线的斜率为时，

当直线的斜率不为时，

设直线的方程为

由消去,

化简整理得，，

显然，

由韦达定理可得：

设，

即

①

②

由①②消去，可得

（ⅰ）当时，，

（ⅱ）当时，，

解得且，

综合（ⅰ）（ⅱ）得：

综上得：。