Question

已知离心率为的椭圆的左顶点为A，且椭圆E经过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C，D两点，且直线AC和直线AD的斜率之积为.

（I）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）求证：直线l过定点.

Answer

（I）；（II）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）根据离心率,可得的关系,代入解析式,代入的坐标,即可求得,进而得椭圆的标准方程.

（Ⅱ）设出直线的方程,将直线方程与椭圆方程联立,根据有两个不同的交点可知,利用韦达定理表示出,由直线AC和直线AD的斜率之积为可得关于和的方程,即可求得和的关系,代入直线方程即可求得所过定点的坐标;也可将方程设为,将直线方程与椭圆方程联立,根据有两个不同的交点可知,利用韦达定理表示出,由直线AC和直线AD的斜率之积为可得关于和的方程,化简求得的值,即可求得所过定点的坐标.

（I）

又椭圆E经过点

椭圆E的标准方程为

（II）方法一：的方程为,

设,

联立方程组,

化简得,

由解得,

且.

,

,

化简可得：

或（舍）,满足

直线l的方程为,

直线l经过定点

方法二：设l的方程为,

设,

联立方程组,

化简得,

解得：,

且

,

,

化简可得：

或者（舍）满足

直线l经过定点.