Question

设函数.

（1）若函数有零点,求实数的取值范围;

（2）记（1）中实数的最大值为,若,均为正实数,且满足,求的最小值.

Answer

（1） （2）

【解析】

(1)依题意可知二次方程有解,因为,即,对进行讨论,即可求得答案;

(2)由(1)知,利用柯西不等式可得:,即可求得答案.

(1)依题意可知二次方程有解,

,即.

①当时,,

;

②当时,恒成立,

;

③当时,,

.

综上所述,可得.

(2)由(1)知,

利用柯西不等式可得:

,

,

的最小值为,当且仅当时取等号.