Question

在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点在上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标．

Answer

（1）圆的参数方程：，直线：；（2），此时点的坐标为

【解析】

（1）整理圆的方程为,即可写出参数方程,利用将直线方程写为直角坐标方程即可；

（2）法一：利用参数方程设曲线上的点,利用点到直线距离公式可得,则根据三角函数的性质求处最值,并将代回求得坐标；

法二：为圆心到直线距离减去半径,再利用弦与直线垂直的性质得所在直线为,联立直线与圆的方程即可求得交点的坐标

（1）圆的方程可化为,圆心为,半径为,

∴圆的参数方程为（为参数）,

直线的极坐标方程可化为,

∵,∴直线的直角坐标方程为

（2）法一：设曲线上的点,

点到直线：的距离：

,

当时,,

此时点的坐标为,所以,此时点的坐标为

法二：曲线是以为圆心,半径为的圆,

圆心到直线的距离,

所以,

此时直线经过圆心,且与直线垂直,

,所以,所在直线方程为,即,

联立直线和圆的方程,解得或,

当取得最小值时,点的坐标为,

所以,此时点的坐标为