Question

已知函数的图象在点处的切线为，若函数满足（其中为函数的定义域，当时，恒成立，则称为函数的“转折点”，已知函数在区间上存在一个“转折点”，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

Answer

B

【解析】

根据已知函数，求出切线方程，构造函数，求导，根据导数判断单调性，找出其转折点，并讨论的取值范围。

由题可得，则在点处的切线的斜率，，

所以函数的图象在点处的切线方程为：，

即切线，

令，

则，且

，且，

，

（1）当时，，则在区间上单调递增，所以当，，当，，则在区间上单调递减，，在上单调递增，

所以当时，，不满足题意，舍去，

（2）当时， （），则在区间上单调递增，所以当，，当，，则在区间上单调递减，，在上单调递增，，所以当时，，不满足题意，舍去，

（3）当，（），则在区间上单调递增，取，则，所以在区间上单调递增，，当时，恒成立，故为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。

（4）当，令，解得：，且,则在区间上单调递减，在上单调递增，取，故在上恒成立，则在区间上单调递增，当时，，则当，，则，所以为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。

（5）当，（），则在区间上单调递减，取，则，所以在区间上单调递减，，当时，恒成立，故为函数在区间上的一个“转折点”，满足题意。

（6）当时， （），则在区间上单调递减，所以当，，当，，则在区间上单调递增，，在上单调递减，

所以当时，，不满足题意，舍去，

综述所述：实数的取值范围为，

故答案选B