Question

设椭圆的焦距为2，且点在椭圆上，左右顶点为，，左右焦点为，.过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若，求的值；

(3)若，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据焦距为2，点在椭圆上代入即可得解；

（2）设直线的方程,可得、，再利用即可得解；

（3）联立方程组可得、，利用即可得解.

（1）由题意可得，解得，，

∴椭圆方程为.

（2）由(1)可得，，，，

则直线的方程为，

由，可得，

∴直线的方程为，即，

由，消可得，

解得，

∴，.

∵，

∴，

解得.

（3）由(2)知，，

联立，得，

方程，

联立，得，

∵，∴，

∴，

∴

∴.