Question

已知，，其中实数.

(1)求的最大值；

(2)若对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）1；（2）.

【解析】

（1）先求出，根据和的解集确定的单调区间即可得解；

（2）根据时成立得出，围绕讨论并证明此时恒成立即可.

（1）定义域，

，

令，得.

当时，，单调递增.

当时，，单调递减.

∴当时，.

（2）∵对于任意实数恒成立，

∴，

当时，可得，下面围绕展开讨论：

由，

可得恒成立，

设，则，

因此转化为，

即为，

①当时，∵单调递减，，

∴为恒成立；

②当时，由于单调递增，

因此，

因此只需证明，

即证，

构造函数，，

则，且，

(i)当时，，

则

，

此时发现的一个根为，那么继续分解可得，

∴函数在上单减，恒成立，

(ii)当时，

，

∴在上单增，恒成立.

综上所述，.