Question

已知函数．

（1）若关于x的方程在区间上有两个不同的解，．

①求a的取值范围；

②若，求的取值范围；

（2）设函数在区间上的最小值，求的表达式．

Answer

（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①求得的分段函数作出函数的图象，求出最值，即可得到所求的范围；②由①消去，可得；（2）求得，对讨论，当时，当时，当时，当时，当时，讨论单调性，可得，即可得到所求的解析式.

【解析】
（1）①因为，即，

则，
作出函数的图象如图，

的最小值为1，当时，有最大值，
又因为关于的方程在区间有两个不同的解，，
故的取值范围是；
②因为，所以，，且有，

即有；
（2）由题得，
当时，有，则在[0，2]上为减函数，
则；
当时，有，在上为减函数，在上为增函数，
此时；
当时，有，在上为减函数，在上为增函数，
此时，
当时，有，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
此时，
当时，有，则在上为增函数，
则，

综上.