Question

已知正项数列的前项和为，若,.

（1）证明：当时，；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，求数列的前项和.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）运用已知将n换为n﹣1，作差化简可得证.（2）结合等差数列的定义和通项公式，分奇偶分别求通项，合并即可得到所求；

（3）求得数列{bn}的通项，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

（1）时，作差得

，又，所以有

（2）因为时，，所以的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列；偶数数项是以为首项，2为公差的等差数列；

所以；

所以

（3），

∴Tn＝b1+b2+…+bn﹣1+bn＝1•4+3•42+…+（2n﹣3）•4n-1+（2n﹣1）4n①

4n+（2n﹣1）4n+1②

①﹣②得：﹣3（2n﹣1）4n+1

解得：

∴