Question

已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和．

（1）求数列、的通项公式；

（2）求使得成立的最小值；

（3）若，求证：数列为递减数列．

Answer

（1）；（2）7；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由条件可得是等差数列，再由已知的前项和与通项关系，即可求出结论；

（2）求出，去绝对值，解关于的不等式，即可求解.

（1）点在双曲线上，

是以为首项，公差为的等差数列，

；点在直线上，

，当时，，

当时，，

，

是以为首项，公比为的等比数列，.

（2），

解得，成立的最小值为7.

（3），

，

，所以数列为递减数列.