Question

已知函数，其中．

（1）若，判断函数在上的单调性，并用定义加以证明；

（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）函数在上的单调递减，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）当，先判断出函数在上的单调递减．再利用定义证明即可；

（2）若，由得到，代入到不等式中，令，则不等式可转化为在上恒成立，利用单调性可求关于的函数的最大值，从而求出实数的取值范围．

（1）当，函数在上的单调递减．用定义证明如下：

设，则，

，

，

∴，∴，

∴当，函数在上的单调递减.

（2）若，则，∴，

不等式在上可化为①,

令，，则，

又①可化为在上恒成立，故在上恒成立，

因为在为增函数，故，故，

所以，故.

综上，的取值范围为.