Question

已知函数.

（1）设，（其中是的导数），求的最小值；

（2）设，若有零点，求的取值范围.

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）求导数，得，对再求导，由导数单调性得最小值；

（2）由（1）知，因此在时，无零点，在时把函数整理为的函数：，因，，故是的减函数，再分类讨论，，

，令，利用导数知识说明函数无零点，有一个零点，时，用零点存在定理说明函数有零点．为此只要证明，即可．

【解析】
（1），，定义域为

，时，，单减；时，，单增

．

（2）①故当时，由（1）知，故单增，当时，；当时，，，故；而，故时，，此时无解；

，因，，故是的减函数

②当时，，

令，显然，，

，函数单调递增

又，故时，，单减；时，，单增，故，，此时无解；

③当时，，此时，即有零点；

④当时，，令有，下证存在使得，

，令，

令，则

，而，只需

记，单增，，故单增

，故存在，使得，由前，故在有解.

综上所述，当时，有零点