Question

已知函数.

（1）当时，求的最大值；

（2）若只有一个极值点.

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：.

Answer

(1) 最大值为-1. (2) （i）（ii）证明见解析

【解析】

（1）当时，，令，利用导数求得函数的单调性，即可求得函数的最大值；

（2）由，得到，分和讨论，求得函数的单调性与最值，结合函数的性质，即可得到答案.

（1）当时，，.

令，则，

∴在上单调递增，在上单调递减

∴，故的最大值为-1.

（2），.

①当时，在恒成立，则在单调递增.

而，当时，，

则，且，∴使得.

∴当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增，∴只有唯一极值点.

②当时，

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减，∴.

（i）当即时，在恒成立，则在单调递减，无极值点，舍去.

（ii）当即时，.

又，且，∴使得.

由（1）知当时，，则

∴

则，且，∴使得.

∴当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减.

∴有两个极值点，，舍去.

综上，只有一个极值点时，

∵，∴，

∴，.

令，∴，则在单调递减

∴当时，，∴.