Question

已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）求的单调性；

（2）若，对于任意，是否存在与有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由．

Answer

（1）当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；（2）存在与有关的正常数

【解析】

（1）求导可得,分别讨论,,时的情况,进而判断单调性即可；

（2）存在与有关的正常数使得,即,则,设,满足即可,利用导数可得,再设,利用导函数判断函数性质即可求解

（1）,

①当时,恒成立,所以在上的单调递增；

②当时,,,所以在上的单调递增；

③当时,令,得,

当时,,单调递减；

当时,,单调递增；

综上所述：当时,在上的单调递增；

当时,在上单调递减,在上单调递增

（2）存在,

当时,,

设存在与有关的正常数使得,即

,

需求一个,使成立,只要求出的最小值,满足,

∵,∴在上单调递减,在上单调递增,

∴,

只需证明在内成立即可,

令,

,

∴在单调递增,

∴,

所以,故存在与有关的正常数使成立