Question

已知函数．

（1）若，曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

（2）若，且函数的值域为，求的最小值．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）对函数进行求导得，再利用导数的几何意义得，从而得到关于的方程，解方程即可得到答案；

（2）当时，，将函数可化为，则，从而将问题转化为有解，再构造函数，利用导数研究函数的值域，从而得到的取值范围.

（1）当时，，

，

由，

得，

即，

解得或，

当时，，此时直线恰为切线，故舍去，

所以.

（2）当时，，设，

设，则，

故函数可化为.

由,可得

的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以的最小值为，

此时，函数的的值域为

问题转化为当时，有解，

即，得.

设，则，

故的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以的最小值为，

故的最小值为．