Question

已知椭圆C：(a>b>0)的左.右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k₁，直线BN的斜率为k₂，若k₁＝2k₂，求直线l斜率的值．

Answer

(1)＋＝1；(2) k＝

【解析】

(1)根据已知条件，建立方程组，求出a，b，即可得到椭圆的标准方程．

(2)设出直线l方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l方程与椭圆方程联立，求出x1＋x2和x1x2，根据条件求出k1和k2，代入k1＝2k2化简计算，得到关于k的方程，解方程求出k的值．

（1）因为椭圆的离心率为，所以a＝2c.

又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

又因为点P为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c＝1.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立直线与椭圆的方程组，消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.

所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.

因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.

即＝，①

又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，

所以．②

将②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.

所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.

解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝.