Question

设．

（1）求的单调区间；

（2）讨论零点的个数；

（3）当时，设恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

(1) 的单调递增区间为，单调递减区间为．(2)见解析；(3)

【解析】

（1）直接对原函数求导，令导数大于0，解得增区间，令导数小于0，解得减区间；

（2）先判断是f(x)的一个零点，当时，由f(x)=0得，，对函数求导得的大致图像，分析y=a与交点的个数可得到函数f（x）的零点个数．

（3）不等式恒成立转化为函数的最值问题，通过变形构造出函数h(x)=f(x)-ag(x)，通过研究该函数的单调性与极值，进而转化为该函数的最小值大于等于0恒成立，求得a即可.

（1），

当时，，递增，当时，，g(x)递减,

故的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）是f(x)的一个零点，当时，由f(x)=0得，，

，

当时，递减且，

当时，，且时，递减，

时，递增，故，,

大致图像如图，

∴当时，f(x)有1个零点；

当a=e或时，f(x)有2个零点；；

当时， 有3个零点.

（3）h(x)=f(x)-ag(x)=x，

,

设的根为，即有

，可得，时，，递减，

当时，，递增，

，

∴