Question

已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（    ）

A. B.函数在定义域上是周期为的函数

C.直线与函数的图象有个交点 D.函数的值域为

Answer

A

【解析】

推导出当时，，结合题中等式得出，可判断出A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想可判断C选项的正误；求出函数在上的值域，利用奇函数的性质可得出函数的值域，可判断出D选项的正误.

函数是上的奇函数，，由题意可得，

当时，，，A选项正确；

当时，，则，，，

则函数不是上周期为的函数，B选项错误；

若为奇数时，，

若为偶数，则，即当时，，

当时，，若，且当时，，

，

当时，则，，

当时，，则，

所以，函数在上的值域为，

由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，

由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；

如下图所示：

由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，

当或时，，此时，函数与函数没有交点，

则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.

故选：A.