Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，，E为AD的中点，AC与BE相交于点O.

（1）证明：平面ABCD.

（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）通过证明平面，得到，再证即可证得平面ABCD.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值.

（1）证明：平面PCD，平面，，

，为的中点，则且.

四边形BCDE为平行四边形，，.

又，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，，又平面，

平面，则.

平面平面，，

又，为等腰直角三角形，

O为斜边AC上的中点，且平面ABCD.

（2）【解析】
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示

不妨设，则,

则.

设平面PBD的法向量为，

则即

即

令，得.

设BC与平面所成角为，

则.