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如图,在三棱柱中,平面,,,的中点为. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求二面角的余弦值;...

如图,在三棱柱中,平面的中点为.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

 

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)在棱上存在点,使得平面,且. 【解析】 (Ⅰ)可证明平面,从而得到. (Ⅱ)利用,,两两互相垂直建立如图所示空间直角坐标系,求出平面的法向量平面的法向量后可求二面角的余弦值. (Ⅲ)设,则可用表示,利用与平面的法向量垂直可求,从而得到的值. 证明:(Ⅰ)因为平面,平面,所以. 因为,所以. 又因为, 所以平面. 因为平面,所以. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,两两互相垂直, 如图,建立空间直角坐标系. 因为, 所以,,,. 因为平面, 所以即为平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为, ,, 则 即 令,则. 于是. 所以. 由题知二面角为锐角,所以其余弦值为. (Ⅲ)假设棱上存在点,使得平面. 由,得. 因为,为的中点,所以. 所以. 若平面,则,解得. 又因为平面. 所以在棱上存在点,使得平面,且.
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A. B. C. D.

 

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