Question

如图，矩形中，，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）过点作于，过点作于，连接，利用面面垂直的性质定理证明平面，平面，可得出，并证明出，可证明出四边形为平行四边形，于是有，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值．

（1）过点作于，过点作于，连接.

平面及平面都与平面垂直，

平面平面，，平面，平面，同理可证平面，.

矩形中，与全等，.

四边形是平行四边形，.

又平面，平面，平面；

（2）矩形中，，以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则、、，

，，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，则，

易得平面的法向量为，，

因此，二面角的余弦值为．