Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）当点是线段上的中点时，求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）推导出和即可证明平面，再利用面面垂直判定即可

（Ⅱ）以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，再利用二面角向量公式求解

（Ⅰ）证明：∵四边形是正方形，∴.

∵平面平面平面平面，∴平面.

∵平面，∴.

∵，点为线段的中点，∴.

又∵，∴平面.

又∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，

∵，∴平面.

∴，又，

∴，，两两垂直，以为原点，

以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

因为，∵.

，，，

又为的中点，，为的中点，,

，

设平面的法向量为，则，

∴，令，则，

∴，则,

∵平面，∴平面的一个法向量，

.

由图知二面角的平面角为锐角，则二面角的平面角的余弦值为.