Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）.

（Ⅰ）求曲线在直角坐标系中的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用可将曲线的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）解法一：可直线曲线截直线所得线段的中点坐标为，设弦的端点分别为，，利用点差法可求出直线的斜率，即得的值；

解法二：写出直线的参数方程为，将直线参数方程与曲线的普通方程联立，由可求出角的值.

（Ⅰ）由曲线的参数方程（为参数），得：，

曲线的参数方程化为普通方程为：；

（Ⅱ）解法一：中点极坐标化成直角坐标为.

设直线与曲线相交于，两点，则，.

则，②-①得：，

化简得：，即，

又，直线的倾斜角为；

解法二：中点极坐标化成直角坐标为，

将分别代入，得.

，

，即.

，即.

又，直线的倾斜角为.