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在平面直角坐标系中，曲线（为参数），将曲线上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变...

在平面直角坐标系中，曲线（为参数），将曲线上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点．

（1）求曲线的参数方程和的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

 

（1）参数方程为（为参数），的取值范围是； （2）（为参数，）． 【解析】 （1）根据伸缩变换可得出曲线的参数方程，然后分与两种情况讨论，结合直线与曲线相交得出的取值范围； （2）写出直线的参数方程为（为参数，），并设、、对应的参数分别为、、，可得出，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得出关于的二次方程，由韦达定理可得出关于的表达式，代入直线的参数方程可得出点的轨迹的参数方程. （1）曲线的参数方程为（为参数） 当时，与交于两点； 当时，记，则的方程为，与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是； （2）的参数方程为（为参数，）． 设、、对应的参数分别为、、，曲线的普通方程为， 将直线的参数方程与曲线的普通方程联立得， 则，且、满足． 于是，， 又点的坐标满足， 所以点的轨迹的参数方程是（为参数，）．
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在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：，曲线：.

（Ⅰ）求曲线，的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线与轴交于，两点，为曲线上任一点，求的最小值.

 

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在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.直线的参数方程（为参数）.

（Ⅰ）求曲线在直角坐标系中的普通方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.

 

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在平面角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线向左平移个单位长度得到曲线.

（1）求曲线的参数方程；

（2）已知为曲线上的动点，两点的极坐标分别为，求的最大值.

 

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在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若曲线C与直线l相交于M,N两点，求的取值范围.

 

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在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与，分别交于，两点(异于极点)，定点，求的面积.

 

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