Question

在平面直角坐标系中，曲线（为参数），将曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的后得到曲线；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）已知，设直线与曲线交于不同的、两点，求的值.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

（1）利用两角差的正弦公式将直线的极坐标方程变形为，由此可将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用伸缩变换可得出曲线的参数方程，消参后可得出曲线的直角坐标方程；

（2）可知点在直线上，且该直线的倾斜角为，可得出直线的参数方程为（为参数），然后将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可求出.

（1）直线的极坐标方程为，化简得，

化为直角坐标方程为．

将曲线（为参数）上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的后得到曲线，则曲线的参数方程为（为参数），

消参后得，

因此，曲线的直角坐标方程为；

（2）由题意知在直线上，又直线的倾斜角为，

所以直线的参数方程为（为参数），

设、对应的参数分别为、，

将直线的参数方程代入中，得．

因为在内，所以恒成立，由韦达定理得，

所以．