Question

在直角坐标系中，直线的参数方程为（，为参数），曲线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于，两点.

（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；

（2）若，点，求的值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）先把参数方程变为普通方程，再根据，把普通方程变为极坐标方程；

（2）把直线的参数方程代入圆的普通方程得到一个关于t的一元二次方程，根据韦达定理求出的值，即可得到本题答案.

（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线的普通方程为，即.

又所以曲线的极坐标方程为.

（2）由直线的参数方程易知，直线的普通方程为.

由（1）知，曲线是圆心为，半径为的圆.因为，

所以圆心到直线的距离为，所以

解得或（舍去），将直线的参数方程（为参数）

代入曲线的直角坐标方程得

整理得，则.

设，对应的参数分别为，，，

由于点在圆外，所以