Question

已知定义在上的函数满足：① 对任意，，有.②当时，且.

（1）求证：；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）解不等式.

Answer

(1)证明见解析；(2)是奇函数；(3).

【解析】

试题（1）赋值法，令x=y=0可证得f（0）=0；（2）令y=﹣x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；（3）设x1＜x2，由主条件构造f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）由x＜0时f（x）＞0可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．

试题解析：

（1）证明：令，，

∴，

（2）令，

∴

∴.

∴函数是奇函数.

（3）设，则，

∴

∴为上减函数.

∵，.

∴即.

∴不等式的解集为.