Question

世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期7至10天，比赛设27个大项，参赛规模约100多个国家8000余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”.根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：

（1）估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求射击成绩得分恰在350到400的概率；[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，；

（3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”，活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是，方格图上标有第0格，第1格，第2格，……第50格．遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从到），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第格的概率为，试证明是等比数列，并求，以及根据的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力．

Answer

（1）300；（2）0.1359；（3），这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力

【解析】

（1）每一组中的数据用该组区间的中点值代表乘以概率，相加即得估计均值；

（2）由正态分布的性质结合所给数据计算．

（3）依次求出，，可得的递推关系：，变形为，得到一个等比数列，求得，然后用累加法求得，即得，与比较可知吸引力大不大．

（1）；

（2）因为X～N（300，502），所以；

（3）摇控车开始在第0格为必然事件，P0＝1，第一次掷骰子，正面向上不出现6点，摇控车移动到第1格，其概率为，即；摇控车移到第n格（2≤n≤49）格的情况是下列两种，而且也只有两种；

①摇控车先到第n-2格，抛掷出正面向上的点数为6点，其概率为；

②摇控车先到第n-1格，抛掷骰子正面向上不出现6点，其概率为，

故，，故1≤n≤49时，Pn-Pn-1是首项为，公比为的等比数列，

故，Pn＝P0＋（P1-P0）＋（P2-P1）＋…＋（Pn-Pn-1）

，

，，

故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力．