Question

已知函数，且的解集为，数列的前项和为，对任意，都有

（1）求数列的通项公式.

（2）已知数列的前项和为，满足，，求数列的前项和.

（3）已知数列，满足，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据根与系数的关系求出，和，再利用即可求出数列的通项公式；

（2）根据，，可证明为等比数列，求得，，再根据错位相减法即可求出结果；

（3）由题意可知，可得，易知当时，；当时，，当时， ，进而求出有的最大值为，再根据不等式恒成立可列出不等式，解不等式，即可求出结果.

（1）的解集为，∴是方程的两根

由韦达定理知，解得，∴，得

当时，有

当时，有

也符合 ，∴

（2）当时，有，即，得

当时，有，可得，即，

∴为等比数列，首项为，公比为2，

∴，∴.

①，

① 得，②

①-②得

∴

（3）由题意可知，

则

∴当时，，即

当时，，即，

当时，，即，故有的最大值为

由于对任意恒成立

则应有，或

综上：的取值范围是：或.