Question

已知函数（且）.

（1）若，求的单调区间；

（2）若存在实数及，使得在区间上的值域为，分别求和的取值范围.

Answer

（1）在和上单调递增；（2），.

【解析】

（1）根据复合函数的单调性得结论；

（2）由定义域和值域知函数是减函数，从而有，且，由值域得，即且，

即在有两个不相等的实数根，分离参数有在有两个不相等的实数根，令换元后，结合函数的单调性可得的范围，同时得出的范围．

（1）的定义域为，

，

当或时，单调递增

又，所以在和上单调递增；

（2）由题且，得，

又结合的定义域知，

由，所以在上单调递减，

∴在的值域为，，

即，

即且，

即在有两个不相等的实数根，

即在有两个不相等的实数根，

令，

即在有两个不相等的实数根,

∴，，

又，∴，.