Question

如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，，.

（1）求证：平面BDE；

（2）求二面角C-EM-N的正弦值.

（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

Answer

（1）见解析（2）；（3）AH的长为4.

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理证明平面平面BDE，再由面面平行的性质定理得出平面BDE；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；

（3）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量法求解即可得出线段AH的长.

（1）取AB中点F，连接MF，NF，

因为M为AD中点，

所以，

因为平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

因为N为BC中点

所以，

又D，E分别为AP，PC的中点，

所以，则.

因为平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

又，平面

所以平面平面BDE

平面

则平面BDE；

（2）因为底面ABC，.

所以以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系

因为，，

所以，，，，，，

则，，

设平面MEN的一个法向量为，

由，得，

取，得.

由图可得平面CME的一个法向量为.

所以.

所以二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为；

（3）设，则，，.

因为直线MH与直线BE所成角的余弦值为，

所以，

解得：.

所以当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4.