Question

若函数在(0, 2π)内有两个不同零点、．

(1)求实数的取值范围；

(2)求的值．

Answer

（1）a的取值范围是(-2, -)∪(-, 2).

（2）.

【解析】

（1）由于，故可将问题转化为方程sin(x+在(0, 2π)内有相异二解，由条件得到，结合函数的图象可得所求范围．（2）根据、为函数的零点可得sinα+cosα+=0且sinβ+cosβ+=0，将两式相减并结合和差化积公式可得tan，从而可得所求．

(1)由题意得sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+)，

∵函数在(0, 2π)内有两个不同零点，

∴关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解，

∴方程sin在(0, 2π)内有相异二解．

∵0<2π，

∴．

结合图象可得若方程有两个相异解，则满足且，

解得且．

∴实数的取值范围是．

(2) ∵ 是方程的相异解，

∴ sinα+cosα+=0 ①

sinβ+cosβ+=0 ②

①②得(sinαsinβ)+( cosαcosβ)=0，

∴ 2sincos2sinsin，

又sin≠0，

∴ tan，

∴ ．