Question

已知函数对任意实数恒有,当时,,,则以下说法中正确的是(    )

①

②是上的奇函数

③在上的最大值是

④不等式的解集为

A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④

Answer

C

【解析】

因为函数对任意实数恒有,当时,,,先证明其奇偶性和单调性,在逐项判断,即可求得答案..

奇偶性证明:

令

令

即

又

故是定义域为的奇函数

单调性证明:

任取且,则;

令

时,

时,

又 为奇函数

在上是减函数;

对于①,因为,故①正确;

对于②,因为是定义域为的奇函数,故②正确;

对于③,,可得

令,可得

,,,

在上是减函数

在上的最大值是,故③正确；

对于④, 不等式

即

则

在上是减函数

,

解得:或,故④错误.

故选:C．