Question

已知函数．

（1）求证:函数在上为增函数;

（2）当时,若恒成立,求实数的取值范围;

（3）设,试讨论函数的零点情况.

Answer

（1）答案见解析（2）（3）答案见解析

【解析】

（1）根据函数单调性的定义证明,即可求得答案;

（2）设,当时,恒成立,得到关于的不等式组,即可求得答案;

（3）求出的值域,问题转化为求方程的实数根,令,得到方程,求出的值,通过讨论的范围,即可求得答案．

（1）设 是上的任意两个数,且,则

则

,

即

在上递增；

（2）,即

设

即当时,恒成立,

,

解得:

实数的范围是

（3）

x＞0,则

,

即,

当时,由（1）得递增,递增,

递增,

g(x)的值域是,

的大致图象如图示:

,

函数的零点

方程的实数根,

令,即

解得:或,

时,满足条件的实数根有且只有一个,

,

当,即时,函数有个零点,

当,即时,函数只有个零点,

当 ,即时,函数F(x)有个零点,

综上所述,时,函数只有个零点,

时,函数有个零点,

时,函数有个零点．