Question

已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，求的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，利用韦达定理并结合条件可求出实数的值，由此得出抛物线的方程；

（2）由（1）得出直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出关于的表达式，可得出的最小值.

（1）因为直线过焦点，设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

所以有，，，因此，抛物线的方程；

（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为，设直线的方程为，

联立抛物线的方程，所以，，

则有，，

因此

.

因此，当且仅当时，有最小值.