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已知抛物线,过其焦点的直线与抛物线相交于、两点,满足. (1)求抛物线的方程; ...

已知抛物线,过其焦点的直线与抛物线相交于两点,满足.

1)求抛物线的方程;

2)已知点的坐标为,记直线的斜率分别为,求的最小值.

 

(1);(2). 【解析】 (1)设直线的方程为,将直线的方程与抛物线的方程联立,消去,利用韦达定理并结合条件可求出实数的值,由此得出抛物线的方程; (2)由(1)得出直线的方程为,将该直线方程与抛物线的方程联立,并列出韦达定理,利用斜率公式结合韦达定理得出关于的表达式,可得出的最小值. (1)因为直线过焦点,设直线的方程为, 将直线的方程与抛物线的方程联立,消去得, 所以有,,,因此,抛物线的方程; (2)由(1)知抛物线的焦点坐示为,设直线的方程为, 联立抛物线的方程,所以,, 则有,, 因此 . 因此,当且仅当时,有最小值.
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