Question

设的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长BC至D，若，则面积的最大值为（    ）

A.2 B. C. D.

Answer

B

【解析】

由两角和、差的余弦和正弦定理可得：为正三角形，设，由基本不等式得：S△ACD＝＝＝（当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号）得解．

因为，所以，所以，①

因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，由正弦定理得：sin2B＝sinAsinC，②

①﹣②得：，

化简得：4cos2B+4cosB﹣3＝0，解得：cosB＝或cosB＝（舍），又0＜B＜π，所以B＝，

①+②：，cos（A﹣C）＝1，即A﹣C＝0，即A＝C，即三角形ABC为正三角形，

如图所示，设，则，由已知得0＜x＜2，则S△ACD＝＝＝（当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时取等号）

故选：B