Question

已知正数数列的前n项和为，满足，.

（1）求数列的通项公式，若恒成立，求k的范围；

（2）设，若是递增数列，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由，得＝Sn﹣1+Sn﹣2，（n≥3）．相减可得：＝an+an﹣1，（n≥3），根据an＞0，可得an﹣an﹣1＝1（n≥3），当n＝2时，＝a1+a2+a1，解得，进而得出an，利用裂项相消法化简恒成立，从而求出k的范围；

（2）由（1）得（n﹣1）2+a（n﹣1），利用是递增数列，可得bn+1﹣bn＞0恒成立，即可实数a的取值范围．

（1）由，得＝Sn-1+Sn﹣2，（n≥3）．相减可得：＝an+an﹣1（n≥3），

∵an＞0，∴an﹣1＞0，∴平方差公式化简得an﹣an﹣1＝1，（n≥3）．

当n＝2时，＝a1+a2+a1，且，∴＝2+，＞0，∴＝2或=-1．因此当n＝2时，an﹣an﹣1＝1成立．

∴数列{an}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴an＝1+n﹣1＝n．

由题意得，k.

（2）由（1）得，＝（n﹣1）2+a（n﹣1），

∵是递增数列，∴bn+1﹣bn＝n2+an﹣（n﹣1）2﹣a（n﹣1）＝2n+a﹣1＞0，

即恒成立，∵，∴a﹣1，∴实数a的取值范围是．