Question

已知为锐角的外心，且三边与面积满足，若（其中是实数），则的最大值是（       ）

A. B. C. D.

Answer

D

【解析】

利用余弦定理以及三角形的面积公式求出，以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系（为边的中点），由外接圆的性质可得,由，不妨设外接圆的半径，则,可得的坐标，设，则的外接圆的方程为：，利用向量的坐标运算可得，从而求出，代入外接圆方程可得，再利用基本不等式即可求解.

由，可知，

解得，所以，

如图所示，以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系

（为边的中点）

由外接圆的性质可得,

由，不妨设外接圆的半径，

则,

，

,

，

则的外接圆的方程为：，

，

， ，

，否则三点共线，由图可知不可能的.

可化为，代入的外接圆的方程可得

，

化为，

化为，

解得或，

又，所以，

所以的最大值为.

故选：D