Question

已知数列的前项和为，且满足，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）数列满足，记数列的前项和为，求证.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）根据与的关系，可得，从而判断为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，利用等差数列的求和公式可得，再利用裂项求和法可求出，令，易知单调递增，借助函数的单调性即可求解.

（Ⅰ）因为，①

当时，，②

由①-②得，即，

当时，，，

所以数列为等比数列，其首项为，公比为，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，

所以，

所以

令，易知单调递增，

所以，即，

所以.