Question

如图，三棱柱的侧面是正方形，平面平面，，，点在上，，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）判断平面与平面是否垂直，直接写出结论，不必说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）平面平面（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）连结交于，因为为中点，所以，利用线面平行的判定定理即可证出

（Ⅱ）首先利用面面垂直的判定定理即可得出结论.

（Ⅲ）建立空间直角建立坐标系，分别求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

（Ⅰ）如图所示，

连结交于，因为为中点，所以，

又因为平面, 平面,

所以平面.

（Ⅱ）平面平面.

（Ⅲ）如图建立坐标系，设，，，

设平面的一个法向量为，则，，

令，则，同理可得平面的一个法向量为，

所以，

因为二面角为锐二面角，

所以求二面角的余弦值为.