Question

已知的两个顶点的坐标分别为，，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为.

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析，定值为.

【解析】

（Ⅰ）设，根据题意列方程即可求解.

（Ⅱ）设，，，由为的重心，可得，从而，，将直线与椭圆方程联立整理利用韦达定理求出点坐标，代入椭圆方程可得，再利用弦长公式以及三角形的面积公式即可求解.

（Ⅰ）设，

因为点的坐标为，所以直线的斜率为

同理，直线的斜率为

由题设条件可得，.

化简整理得，顶点的轨迹的方程为：.

（Ⅱ）设，，，

因为为的重心，所以，

所以，，

由得，

，，

，，∴，

又点在椭圆上，所以，

∴，

因为为的重心，所以是的倍，

，

原点到直线的距离为，

.

所以，

所以，的面积为定值，该定值为.