Question

已知函数，.

（Ⅰ）若为函数的极小值点，求的取值范围，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ），的递减区间和，递增区间为，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先求出函数导数，分类讨论或，判断的正负即可求解.

（Ⅱ）令，且，求出，令，且，求出在上单调递增，进而分类讨论或，求出的单调区间，即可求出的单调区间，判断的正负即可求解.

（Ⅰ）由题意知：，且，

若，即时，当，，所以不可能为的极小值点；

若，即时，令；

令或，

所以的递减区间和，递增区间为，

所以为函数的极小值点，

综上：，的递减区间和，递增区间为.

（Ⅱ）令，

则，

，

令，则，

因为，令，

则，，

所以在上单调递增，所以，

（1）当，即时，，，所以在上单调递增，所以对恒成立.

所以恒成立，所以在上单调递增，所以，，符合题意；

（2）当，即时，因为，

又且，

又在上连续且单调递增，所以存在，使得，此时，当时，，所以单调递减，所以，

所以，所以在单调递减，

所以，，矛盾，舍去.

综上：.