Question

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）.

（Ⅰ）当时，判断直线与曲线的位置关系；

（Ⅱ）设直线与轴的交点为，且与曲线交于两点，且，求的值.

Answer

（Ⅰ）直线与曲线相切（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）将极坐标方程以及参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可判断.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点坐标为，且直线的斜率为，直线的倾斜角为，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用参数的几何意义即可求解.

（Ⅰ）当时，曲线的参数方程为，

∴曲线的普通方程为，表示以原点为圆心，为半径的圆，

∵，

∴，

∴直线的直角坐标方程为，

即，

∵到直线的距离为，

∴直线与曲线相切；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点坐标为，且直线的斜率为，

∴直线的倾斜角为，

∴直线的参数方程为（为参数），

曲线的普通方程为，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，

整理，得，

∵直线与曲线交于两点，设两点对应的参数分别为，，

∴，

且，

∵，

∴，

解得（满足），

∴的值为.