Question

设函数为常数

(1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；

(2)当时，证明.

Answer

(1) ；(2) 证明见解析.

【解析】

（1）对函数求导，单调分单调增和单调减，利用或在上恒成立，求得实数的取值范围；

（2）利用导数研究函数的单调性，求得结果.

（1）由得导函数，其中.

当时，恒成立，

故在上是单调递增函数，符合题意；

当时，恒成立，

故在上是单调递减函数，符合题意；

当时，由得，

则存在，使得.

当时，，当时，

，所以在上单调递减，在上单调递增，

故在上是不是单调函数，不符合题意.

综上，的取值范围是.

（2）由（1）知当时，，

即，故.

令，

则，

当时，，所以在上是单调递减函数，

从而，即.