Question

已知动圆和定圆外切，和定直线相切.

（1）求该动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过点的直线与交于两点，在曲线上存在一点，使得为定值，求出点的坐标.

Answer

（1），（2）存在，点.

【解析】

(1)由已知可得：点G的轨迹是到定点C（2，0）的距离和到直线L：x=-2的距离相等的点的集合．由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线．求出即可．

(2)设出直线的方程为: ,联立两方程得，设设，得出韦达定理，设，表示出，由恒成立的思想可得出定点坐标.

(1)由圆可得：圆心，半径．
设所求动圆圆心为，过点作垂直于直线：，为垂足．
则，可得．
因此可得：点的轨迹是到定点的距离和到直线的距离相等的点的集合,
由抛物线的定义可知：点的轨迹是抛物线，定点为焦点，定直线是准线．∴抛物线的方程为：．
∴该动圆圆心的轨迹的方程是 ．

(2) 存在定点的坐标为，理由如下，

设直线的方程为: ,由得，，整理得，

设，则，

设，则，，

∴

∴当时，为定值，此时点，

所以在曲线上存在一点，使得为定值，此时点的坐标为.