Question

已知圆：，过点的动直线与圆交于、两点，为坐标原点，且.

(1)求的轨迹方程；

(2)当时，求的方程及的面积.

Answer

（1）（2），

【解析】

（1）由得为的中点，根据圆的性质可得，设出，利用向量数量积的坐标表示可得结果；

（2）设的轨迹的圆心为，由 得到，求出直线的斜率，再由点斜式可得的方程，由点到直线距离公式求出到的距离，再由勾股定理求出，代入面积公式可得答案.

（1）由圆：可知圆心，半径为4，

设，因为，所以为的中点，

所以，

所以，即，

化简得.

（2）由（1）知，的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

由于，故在线段的垂直平分线上，

又在圆上，从而，

所以，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即，

则到直线的距离为，

又到的距离为，

所以，

所以的面积为.