Question

已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数是“类周期函数”.

(1)判断函数，是否是“类周期函数”，并证明你的结论；

(2)求证：若函数是“类周期函数”，且是偶函数，则是周期函数；

(3)求证：当时，函数一定是“类周期函数”.

Answer

（1）函数不是“类周期函数”， 是“类周期函数”，证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）利用反证法可证断函数不是“类周期函数”，当时，利用定义可证是“类周期函数”；

（2）根据，，，可推出，结论得证；

（3）由，即，也就是存在非零实根，可证得结论正确.

（1）函数不是“类周期函数”， 是“类周期函数”，

证明：假设函数是“类周期函数”，

则，即对任意的成立，

令得，所以，这与相矛盾，故假设不成立，

所以函数不是“类周期函数”；

因为时， ，根据定义可知是“类周期函数”.

（2）因为函数是“类周期函数”，

所以存在常数，使得对任意的成立，

所以，

又为偶函数，所以，

所以 ，

因为，所以，

又为偶函数，所以，

所以，

所以，

因为，所以是周期为的周期函数.

（3）当时，假设函数是“类周期函数”，

则存在常数，使得对任意的成立，

即存在常数，使得对任意的成立，

所以，此方程有非零实数解，

故当时，函数一定是“类周期函数”.