Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．

（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；

（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer

（1）或；（2）见解析.

【解析】

（1）记圆心到直线l的距离为d，利用垂径定理求得d．当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），利用圆心到直线的距离列式求得k，则直线方程可求；

（2）设P（x1，y1），由直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分别求出直线PA、PB的方程，进一步得到M，N的坐标，由P在圆上，整体运算可得为定值．

∵直线x﹣3y﹣10=0与圆O：x2+y2=r2（r＞0）相切，

∴圆心O到直线x﹣3y﹣10=0的距离为r=．

（1）记圆心到直线l的距离为d，∴d=．

当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，满足题意；

当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．

∴，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣10=0．

综上，直线l的方程为x=2或3x+4y﹣10=0；

（2）点M、N的纵坐标之积为定值10．

设P（x1，y1），

∵直线y=3与圆O交于A、B两点，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），

∴直线PA、PB的方程分别为y﹣3=，y﹣3=．

令x=0，得M（0，），N（0，），

则（*）．

∵点P（x1，y1）在圆C上，∴，即，

代入（*）式，得为定值．