Question

已知椭圆：的一个焦点为,离心率为.

（1）求的标准方程；

（2）若动点为外一点,且到的两条切线相互垂直,求的轨迹的方程；

（3）设的另一个焦点为,过上一点的切线与（2）所求轨迹交于点,,求证：.

Answer

（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）利用题中条件求出的值,然后根据离心率求出的值,最后根据三者的关系求出的值,从而确定椭圆C的标准方程；

（2）设,切点分别为,,当时,设切线方程为,与椭圆联立消去,得,根据根的判别式,化简得,又因为在椭圆外, .又因为,所以,即,化简为,

整理即可得的轨迹方程.

（3）设,先求.方法一：由相交弦定理,得.

方法二：切线的参数方程,将代入圆,因为点在圆内,整理可得.再利用公式求,所以证得.

（1）【解析】
设,

由题设,得,,所以,,

所以的标准方程为.

（2）【解析】
如图,设,切点分别为,,

当时,设切线方程为,

联立方程,得,

消去,得,①

关于的方程①的判别式,

化简,得,②

关于的方程②的判别式,

因为在椭圆外,

所以,即,所以.

关于的方程②有两个实根,分别是切线,的斜率,

因为,所以,即,化简为,

当时,可得,满足,

所以的轨迹方程为.

（3）证明：如图,设,先求.

方法一：由相交弦定理,得

.

方法二：切线的参数方程为（为参数）,

,

代入圆,整理得,

因为点在圆内,

所以上述方程必有两个不等实根,,,且,

所以,

当时,,仍有.

再求.

,

因为点在椭圆上,所以,即,

所以,

所以.